Teoría de la Guía de
Onda
Una guía de onda es un tubo conductor a través del cual se
transmite la energía en la forma de ondas electromagnéticas. El tubo actúa como
un contenedor que confina las ondas en un espacio cerrado. El efecto de
[Faraday] atrapa cualquier campo electromagnético fuera de la guía.
Cuando el espacio (aire o espacio libre) por el que una onda
electromagnética viaja es grande comparado con la longitud de onda
característica, es válido describir el comportamiento de propagación, en forma
muy aproximada, por medio de una onda electromagnética plana. Mientras mayor
sea el espacio de propagación en términos eléctricos mejor será la aproximación
usando una onda plana.
Onda electromagnética plana.
Una onda TEM es aquella cuyos campos E y H son
perpendiculares entre sí, y ambos a la vez son perpendiculares a la onda de
propagación, misma que se designa como la dirección a lo largo del eje z. si
además de esto la magnitud y la fase de
cada campo son iguales en todos los puntos de un plano cualquiera para
el cual z es una constante, entonces la onda es plana.
Para encontrar la expresión matemática de una onda
plana se necesita resolver las
ecuaciones de maxwell, finalmente empleando dichas ecuaciones se obtienen las
expresiones completas para los campos de una onda plana que viaja en la
dirección positiva de z, en función de la posición y del tiempo.
La velocidad a la que viaja la onda a lo largo del eje z es
igual a w/B y recibe el nombre de velocidad de fase:
se puede demostrar que si el cociente es <<1 como
sucede con los dieléctricos de perdidas muy bajas entonces las ecuaciones toman la forma:
cuando el coeficiente es muy grande >>1 tal es el caso
para los medios que son buenos conductores, las expresiones quedan:
por lo tanto las expresiones factoriales para los campos
E y H son:
y las expresiones instantáneas correspondientes en función
del tiempo resultan ser:
en la siguiente tabla se muestran una concentración de
formulas para calcular impedancia de onda, la constante de atenuación y la
constante de fase de una onda plana.
Teoria general de los modos TE
Un gran numero de lienas puede conducir una onda TEM, pero existen otras que solo
pueden propagarse por ondas Te Y TM, como es el caso de las guías huecas
rectangulares o circulares.
Los modos TE tienen
su campo eléctrico transversal a la dirección axial(Ez=0) y una componente Hz
distinta de 0. La ecuación solo incluye la variable Hz y es la ecuación general
para cualquier sistema con modos TE.
Teoría general de los modos TM.
Los modos TE tienen
su campo eléctrico transversal a la dirección axial(Hz=0) y una componente Ez
distinta de 0. La metodología para encontrar las expresiones matemáticas de las
componentes de los campos E y H de estos modos es análoga a la d modos TE, solo
que ahora la variable utilizada sea Ez en vez de Hz.
Teoría general de los modos TM.
Los modos TE tienen
su campo eléctrico transversal a la dirección axial(Hz=0) y una componente Ez
distinta de 0. La metodología para encontrar las expresiones matemáticas de las
componentes de los campos E y H de estos modos es análoga a la d modos TE, solo
que ahora la variable utilizada sea Ez en vez de Hz.
La guía de dos placas paralelas.
Modos TE.
Si las placas paralelas son muy anchas, puede considerarse
que Hz es independiente de la coordenada. entonces la ecuación de la teoría
general de los modos TE es:
como se debe de cumplir la condición de frontera Hnormal=Hx=0 en ambas placas entonces la
función es:
derivando la solución con respecto a x para poder aplicar la
segunda condición de frontera en x=a de tiene:
como el coeficiente A no puede valer cero se tiene:
sustituyendo en la
ecuación general de modos TE:
El punto de
transición entre el valor real y uno imaginario para Y se obtiene :
y para el vacio o aire se reduce a:
conocidos Hz y Y, las
demás componentes se pueden obtener a través de :
y la componente x en
el campo magnético es:
como Hz no depende de y se concluye que:
y finalmente:
Los modos TM.
La ecuación general de la teoría de modos TM es:
el coeficiente A de la solución general vale cero, entonces
la ecuación se reduce a:
en la pared interior
de la otra placa donde x=a,Ez, también debe valer cero, por lo que:
la frecuencia de
corte y la constante de propagación tienen el mismo valor para los modos TE y
TM para cada n particular:
para los TM n si
puede valer cero, pues aunque Ez se vuelve idéntica a cero, cos gx=1 y no todos
los campos desaparecen:
Velocidad ede los modos TE y TM. Teoría General.
la velocidad de grupo (Vg) es la velocidad mas importante de
todas pues es la velocidad a la que realmente se mueve la información de una
señal dentro de la guía. la velocidad de grupo es la velocidad a la que se
mueve un grupo de frecuencias siempre y cuando la señal sea de banda angosta.
al graficar w contra B, se obtiene un diagrama de dispersión
donde la pendiente de una linea recta dibuja desde el origen hasta un punto P
sobre la gráfica da el valor de la velocidad de fase y la pendiente local de
una linea tangente a la gráfica en ese mismo punto P( derivada de w con
respecto a B) da el valor de la velocidad de grupo. La función gratificada es
la relación no lineal entre B y w para
los modos TE y TM dentro de una guía ideal:
por lo que:
Impedancias de los modos TE y TM. Teoría General.
para los modos TE la impedancia de onda se obtiene a través
de la ecuación:
y para los modos TM
la impedancia de onda se obtiene a través de la ecuación:
En términos de la
frecuencia de corte de modo mn* y de la impedancia intrínseca del medio de
propagación, las ecuaciones toman la siguiente forma:
Guías Rectangulares.
La geometría de una guía de onda rectangular se muestra en
al figura 4. La ecuación del teorema general toma la forma:
para las ondas TE
para las ondas TM
para la resolución de la forma general:
la ecuación se separa
y da origen a las dos soluciones mostradas:
por lo tanto:
Para las ondas TE, la
aplicación de las condiciones de borde especificadas en la ecuación permite
obtener la solución para Hz:
Donde Hmn=AC.
Para las ondas TM, la aplicación de las condiciones de borde
especificadas en la ecuación permite obtener la solución para Ez:
Donde Emn=BD
a continuación se
muestra una tabla con las distintas propiedades de una guía de onda
rectangular.
Condición de propagación
Para que un
determinado modo se propague en la guía es necesario que el coeficiente de
propagación Kmn:
sea real,
circunstancia que se conoce como condición de propagación:
Frecuencia de corte
La frecuencia límite a partir de la cual un determinado modo
m, n puede propagarse se conoce como frecuencia de corte de dicho modo:
Modo dominante
El modo que presenta la frecuencia de corte menor se conoce
como modo dominante. poniendo a = 2b, se ha llenado el siguiente cuadro.
A partir del Cuadro
se observa que: fc,10 < fc,01 < fc,11 < fc,21 < fc,12 < fc,22
< ...
El rango [fc,10, fc,01] es el rango de frecuencias en el que
se suele usar la guía, dado que en dicho rango solo se propaga el modo
dominante.
Guías circulares.
Las guías circulares tienen aplicaciones muy especificas e
importantes. son útiles en los sistemas de radar que necesitan una antena
giratoria y en la fabricación de muchos dispositivos de microondas que
requieren de una unión que gire
libremente tales como atenuadores y cambiadores de fase de lata presión.
La ecuación general en este caso asume la forma:
para TE
para TM
La ecuación se resuelve asumiendo una solución producto:
u(ρ, ϕ) = P(ρ)Φ(ϕ), donde las funciones P y Φ dependen exclusivamente de las
variables ρ y ϕ, respectivamente:
multiplicando este
resultado por ρ 2 se obtiene:
La ecuación se separa
en dos ecuaciones:
donde νν es cierta
constante de separación.
Las solución de la
ecuación es:
donde A y B son dos constantes indeterminadas. Como la
función Φ(ϕ) ha de ser unievaluada: Φ[ν(α + 2π)] = Φ(να), ν ha de ser un número
entero:
La solución de la ecuación es:
donde C y D son dos
constante indeterminadas, Jn es la función de Bessel de orden n.
La función de Bessel Jn(x) se define como:
a continuación se
muestra una tabla con las distintas propiedades de una guía de onda circular.
Guías elípticas.
La guía elíptica mas popular es de tipo flexible corrugado,
es fácil de instalar pues no necesita transiciones para realizar curvas o
dobleces y su atenuación es menor que la de una guía rectangular de dimensiones
transversales similares. A continuación se muestra una tabla con algunos
estándares de guías elípticas y su rango recomendado de sus frecuencias de
operación.
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